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【数学】排列组合解题技巧12法

http://www.tesoon.com/  作者:试题调研  来源:试题调研  更新时间:2010-01-13 14:23  点击:48771

排列组合解题技巧12

 

首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

1)使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用分类计数原理,需要分步来完成这件事时就用分步计数原理;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?分类表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而分步必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。

3)复杂的排列问题常常通过试验、画树图框图等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意至少、至多等限制词的意义。

5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行分类和按事件的过程分步,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。

 

其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一.特殊元素(位置)的优先安排法:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。

1、 用02345,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。

A 24 B.30 C.40 D.60

[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的特殊元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:10排末尾时,有A42个,20不排在末尾时,则有C21 A31A31个,由分数计数原理,共有偶数A42 + C21 A31A31=30个,选B

二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个,排好后发现0不能排首位,而且数字35也不能排末位,这两种排法要排除,故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素捆绑起来,看作一元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.

2、有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有( )种.(结果用数值表示)

解:把3本数学书捆绑在一起看成一本大书,2本外语书也捆绑在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有A55种排法;又3本数学书有A33种排法,2本外语书有A22种排法;根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440().

注:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意捆绑起来的大元素内部的顺序问题.

五.不相邻问题用插空法:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.

3、用12345678组成没有重复数字的八位数,要求12相邻,24相邻,56相邻,而78不相邻。这样的八位数共有( )个.(用数字作答)

解:由于要求12相邻,24相邻,可将124这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排14,因此大元素内部共有A22种排法,再把56也捆绑成一个大元素,其内部也有A22种排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A33种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字78插入即可,共有A42种插法,所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42288()

注:运用插空法解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置.

六.顺序固定用除法:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

46个人排队,甲、乙、丙三人按------顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(A63)

54个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。

解:先在7个位置中任取4个给男生,有A74 种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33)

七.分排问题用直排法:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来处理。

67个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?

分析:7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有A77种。

八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。

7.将数字1234填入标号为1234的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有()

A6 B.9 C.11 D.23

解:第一方格内可填234,如第一填2,则第二方格可填134,若第二方格内填1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填34,后两方格也只有一种填法。一共有9种填法,故选B

九、构造模型隔板法: 对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。

8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

分析:建立隔板模型:将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为abcd的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

.排除法:对于含至多至少的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑总体去杂,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法.

9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种.

A140 B80 C70 D35

解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(),故选C

注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题.

十一.逐步探索法:对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律

10、从1100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种。

解:两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>1001为被加数时有1种,2为被加数有2种,49为被加数的有49种,50为被加数的有50种,但51为被加数有49种,52为被加数有48种,99为被捕加数的只有1种,故不同的取法有(1+2+3+…+50+49+48+…+1=2500

十二.一一对应法:

11.100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军,要比赛几场?

解:要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名就要进行一场,故比赛99场。

 

 


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