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____ 2005 年全国高考试题数学试题（ III ）评析 陕西特级教师 安振平 苟春鹏 2005 年高考是陕西第一次接触数学新课程卷，采用的高考数学试题模版是全国卷（ III ），试卷题量与去年相同，也就是：选择题１２道，填空题４道，解答题６道。当中，高中数学教材新增内容（向量、概率与统计、导数）的难度都不是太难的， 2004 年以大题出现的线性规划 2005 年没有再涉及。今年高考数学试卷总体呈现平稳，没有出现难题、偏题和怪题，基本的传统题仍然是今年高考试题的主力军。命题凸现了高中数学的主干知识，以“死题”考知识，用“活题”考能力，加强了数学运算能力的考查。文理科试卷的差异较往年缩小了，当中，选择题相异的有１道，填空题差异有２道，而且这３道试题都是因为文理考试知识的不同要求命制的。解答题差异的有 2.5 道。我们的感觉是：数学试题整体不难，和 2004 年的试题难度基本相当，应该说成绩优秀的学生得高分并不困难，也可以这么说，考生得高分容易，得满分就比较难了。 • 试题评析 • 选择题：平淡中考知识，新奇中考能力 选择题都是容易题和中等题，大多数题属于“一捅就破”的题型，主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算解题方法。其中好多题目都能在课本上找到影子，是课本题的变形和转化，特别是第 1 、 2 题尤为突出，考生一打开试卷第一眼就看到非常熟悉的课本题，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的推进作用。这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命制原则，有很好的导向作用。第 11 题是一道陈题，但作为高考试题对考查考生的空间想象能力也不乏是一道好题。而第 12 道题虽然是一道信息给予型的创新题，主要考查学生收集信息、处理信息的分析问题和解决问题的能力，但在考场上看大多数考生也都能答对。所以说一般学生的选择题都能拿到 50 分左右。 • 填空题：新增内容多出现，传统活题显特色 填空题的难度也始终保持适中的稳定性。主要考查基本的数学知识和简单的数学计算，没有出现难题。当中涉及新增加的知识点有统计、向量、导数，理科中出现了传统的复数的简单计算题。一个亮点试题是文理科共用的第 16 题，其点在直角三角形的斜边上的变动，显示了试题设计的灵活性，问题的实质是求三角形内接矩形的面积的最大值，显然，当点 P 趋向于点 A 或点 B 时，矩形的面积趋向于零，于是，我们似乎可以猜想：当点 P 为三角形边 AB 的中点时，矩形的面积就可以取到最大值。可见，比较难的填空题，我们也可以：“该算不算，巧填过关”。 • 解答题：入手容易出手难，要说爱你不容易 解答题尽管文理都是 6 道大题，但题目的差异却比较大。在解答试题中，相同的试题有３道，分别是概率题、数列题和立体几何题。当中概率试题与课本的问题难度相当。数列试题在课本上可以找到影子，它是一个数列的子数列问题，这和 2004 年江苏卷的数列同属于一个类型。立体几何试题是近年来的热点题型，也就是教室的墙角，直二面角模型，而求二面角的平面角的大小是常考的知识点。解析几何试题只是第二问文理相异，其中理科的参数范围的探求则是多年高考解析几何命题的热门话题。在不同的解答试题当中，文科的三角题是简单的三角变形和解不等式问题，而理科的三角题则与向量、等比和等差数列相综合，涉及到三角形中的正弦、余弦定理；函数题文科是一道立体几何的实际应用性题目，属于常见的经典问题，而理科是一道涉及三次函数与分式函数的综合试题，二者的解答均要用到导数知识。理科第 22 题是一道分式函数与三次函数结合的综合性比较高的题目，主要考查分式函数的单调性质以及导函数的概念和运用，综合考察利用所学知识分析问题解决问题的能力以及运算能力。要完全答对必须具备扎实的数学基本功和综合分析问题解决问题的能力，是一道区分度很强的考题，体现了压轴题的特点。 2005 年的试题在科学处理了考查数学能力与试题难度稳定的的基础上，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力等核心数学能力的考查，倡导理性的数学思维，不刻意追求知识点的覆盖面，控制了创新题的数量，整卷试题平和传统，背景公平，突出了在立意上创新，在解法上常见，着力考查充分运用数学的基础知识、基本方法、基本技能来解答数学基本问题的能力，以此来检查考生的数学素质。 • 几点思考 1 ．没有考查的知识点多多，比如：集合的运算、简易逻辑、反函数、充要条件、不等式证明、数学归纳法、圆、线性规划等。 2 ．数学命题似乎关注的是一些经典的“陈题”，例如：选择题的第 11 题，文科解答题的第 21 题等。 3 ．试题的面孔不是一味的追求创新，而是在平凡中见真奇，在传统中考能力。难度的有效控制，也体现了新的课程中的教育理念，那就是教育的成功性评价。 4 ．当前的高考数学复习资料的题量过大，难度过高，似乎影响了高考数学复习的有效性、针对性。如何提高教学的效益？如何选用教学用书？怎样回归课本？这样合理的、有效的利用往年的高考真题进行有效性的教与学？等等问题，需要我们更深入的思考。 • 一点联系 值得一提的是：文科卷的第（２１）题： 用长为 90cm , 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 ,先在四角分别截去一个小正方形 , 然后把四边翻转90°角 , 再焊接而成 ( 如图 ), 问该容器的高为多少时 , 容器的容积最大 ? 最大容积是多少 ?
押题３ 从边长 2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为 x 的正方形，然后拆成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度 x 与底面正方形边长的比不超过正常数 t ． • 把铁盒的容积 V 表示为 x 的函数，并指出其定义域； • x 为何值时，容积 V 有最大值．
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极其相似！