— — 2005 年全国高考 ( 湖北卷 ) 数学试题评析

湖北　田祥高

　　今年是湖北省自主命题的第二年，它走过了“平稳过渡”的 2004 年，今年的数学试题则迈出了“稳中求新，新中求活，活中凸显能力”的命题改革的前进步伐。

试题评析

一、注重基础知识　稳定大局

　　每年的高考试题都要继承上一年试题的风格，保持特色，发扬光大，保持试题的连续性，能稳定考生情绪，推动中学素质教育向纵深发展。

1 ．保持试卷结构的稳定

　　今年的数学试题与 2004 年的试题在题量上、题型分布上仍保持不变，选择题 12 道，共 60 分；填空题 4 道，共 16 分；解答题 6 道，共 74 分。

2 ．突出主干知识的考查

　　今年的高考试题仍像 2004 年一样，突出了主干知识的考查，对函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率、导数这些重点知识的考查仍保持了较高的比例，且新颖别致，如对函数的考查，文理科的第 (4) 小题考查函数的图象，题目新颖，即考查函数 y ＝ e |lnx| － |x － 1|( 实质是一个分段函数 ) 的图象；理科的第 6 小题 ( 文科第 7 小题 ) 实为考查凸函数的性质，却是源于教材第一册 ( 上 ) 第二章的复习参考题 B 组第 3 题；文科的第 13 小题则考查函数的定义域问题；文理科的第 17 小题，把平面向量与函数、导数综合在一起考查，既新颖又突出了主干知识。

3 ．突出新教材新增内容

　　新教材中新增内容仍然用高于课时的比例来命题，并且突出了它的工具性作用。今年新教材新增内容，理科占 64 分 ( 文科 60 分 )( 包括立体几何的解答题用空间向量求解 ) ，比 2004 年略有增加。简易逻辑、函数极限、概率、统计、平面向量、导数、线性规划在理科均考查到，立体几何的解答题仍然是命制一道用传统几何方法和空间向量都可以解答、且用空间向量方法解答要简单些的试题。

4 ．继续保持文理差别

　　今年的试题文理科完全相同的试题，选择、填空题共 16 道题中仅有 9 道，解答题 6 道中仅有两道，并且有的理科试题在文科中位置靠后 ( 如理科的第 21 小题为文科的第 22 小题，降低了文科的难度 ) 。因此今年文理科数学试题仍保持较大的差别，兼顾到文科考生的实际状况。

二、突出理性思维　凸显能力

1 ．强化数学思想方法的考查

　　对数学思想方法的考查仍是今年命题的重头戏，如理科第 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 13 ， 14 ， 17 等小题考查了函数与方程的思想方法；再如理科的第 4 ， 6 ， 9 ， 16 ， 18 等小题很好地考查了数形结合的思想方法，特别是第 (6) 、 (9) 小题运用数形结合的思想方法可以快速地得出答案，简化解题过程，降低思维难度。

2 ．突出理性思维的考查

　　理性思维是数学的特征，因而它必是高考重点考查的能力之一，今年湖北的高考题在这方面得到了较好的体现，像理科选择的第 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 9 ， 10 ， 11 小题都能较好地考查思维的科学性、严谨性、抽象性、解答题的第 (20) 小题则较好地考查逻辑推理能力。

3 ．突出能力的考查

　　今年的试题对思维能力、运算能力、空间想像能力、实践能力的考查都落到了实处，像理科的第 7 小题 ( 文科的第 10 小题 ) 以及理科的第 9 小题，则较为突出地考查了估算能力，这两道题的能答若不善于灵活地运用估算的方法技巧，就会骤增计算量，甚至使解题过程走进死胡同。再如文科的第 (16) 小题是一道线性规划的最优整数解的问题，它既考查了实践能力，又有效地考查了估算、理性思维等方面的能力。

4 ．在知识的交汇处设计试题

　　在知识的并汇设计试题仍然是今年高考的又一道风景线，综合性试题能有效地考查考生分析、解决问题的能力。像文理科的第 1 小题就是一道综合性较强的试题，它既考查集合知识，又考查了计数问题，而且还是一道信息迁移题，因而它能有效地考查考生的能力。理科的除第 3 ， 8 ， 11 ， 14 小题外，其它的都涉及到两个或两个以上的知识点。

三、情境新颖别致　注重创新

1 ．设计新颖的情境

　　情境新颖的试题能有效地甄别考生的数学素养，有效地考查考生的创新能力。如理科的第 11 题 ( 文科 12 题 ) 重点考查分对三种抽样方法要领的准确理解和综合识别；试题背景既源于教材又走近生活，贴近时代，不仅可检测出考生将知识迁移到不同情境中的能力，而且能更有效地甄别考生的数学素养。类似的情境创新的试题在试卷中随处可见。

2 ．解法灵活多样

　　今年湖北的数学高考试题最大特点是大部分试题入口宽，可用多种方法解答，而不同的解法体现了不同的思维能力，因而这样的试题能有效地考查考生“潜在失分” ( 即使用那些繁琐的计算量大的解法解答，即使本题解答正确，因为也耽误了考试时间，消耗了过多的脑力，影响后面答题 ) ，也就能有效地甄别考生的能力，提高试题信度和效度。如理科的第 14 小题，若直接将 ( ＋ ＋ ) 5 展开，再求其常数项，则计算量相当大，而将它先化为 ( ＋ ) 10 ，再求其展开式中的常数项，则大大地减少了运算量。再如理科的第 18 题至少有三种解法，一是解三角形法，利用余弦定理，正弦定理解题；二是平面向量法，建立平面直角坐标系，利用向量知识使问题顺利地解决；三是几何法，通过添加辅助线，利用图形的形象直观，随问题顺利地解决。总之，大部分试题都有多种解法，而且这些解法都有繁简之别。因而它能有效地考查考生的创新能力。

3 ．设计开放性试题

　　开放性试题由于没有固定的解题模式可套，解法灵活多样，因而它突出考查考生的创新能力。今年的试题在这方面也比去迈进了一步，如理科的第 21 题 ( 文科第 22 题 ) ，第 (1) 问题是一道探索型开放题，第 (2) 问则是一道存在型开放题，这多种探索途径之中留给了我们一个引申拓广的自由空间，文理科的第 1 题则是一道信息型开放题。

几点思考

1 ．重视试题间的梯度

　　命题时，应兼顾试题的基础性，重视试题间梯度。今年湖北的高考题，基本上没有送分题，就连每种题型的第 1 题都有一定的难度、有较强的综合性，像文理科的第 1 题，既考查集合知识，又考查计数问题，还是一道信息型创新题。再如文理科的第 17 题，既考查了向量知识，又考查了函数与导数知识；而理科的压轴题，只要第 (1) 小问题过关，则第 (2)(3) 间就自然而然地轻松解决，这没有达到高考“爬坡”题的要求。

2 ．重视《考试大纲》的研究

　　命题时，必须恪守《考试大纲》，而且今年的《考试大纲》就已经给命题人员以广阔的命题的空间，充分地放宽了手脚，因此命题时，就再不能有半点超纲越轨行为，否则就使中学师生的备考无所适从。今年湖北的文科的第 12 题涉及到系统抽样问题，而系统抽样文科的教材中没有讲到，《考试大纲》也没有涉及，这里却出现了。

3 ．应把钢刃用中学的主干知识点

　　在命题时，应把对考生的能力 ( 特别是创新能力 ) 的考查放在主干知识上，如理科的第 11 题 ( 文科 12 题 ) ，考查的是三种抽样方法的甄别，一是文字过长，给考生阅读理解造成一定的难度；二是提供的数据较多，有四种情况；三是干扰性较强，选择肢提供的答案很容易误导考生错选答案，因而这道题能有效地考查考生的能力，是一道好题，但事实上抽样方法对于考生来讲，他们只需要明白科学的抽样方法的重要性、掌握正确的抽样方法即可，完全没有必要死扣教条。因此，命题创新应在学科的主干知识上做文章。

4 ．进一步加大试题创新设计的力度

　　今年湖北的数学高考题与 2004 年比较，在情境的新颖上，解法的灵活上做了大量文章，在开放性、探索性试题方面也略有涉足，但在研究性学习试题方面，在题型改革创新方面还做得不够。

5 ．对中学数学的启示

　　今年湖北的考生，大部分考生都认为数学较难，事实上，作为教育大省的湖北，这样难度的试题应该不能算作难题。究其原因，其关键是数学思想方法的灵活运用上，因此，我们平时的教学是否应该注意解题方法的归纳总结？解题规律的拓展类比迁移？解题后的反思 ( 还有没有好的解法等 ) ？……