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提问:Yuling
级别:一年级
来自:贵州省贵阳市

悬赏分:0
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已解决的问题 分数问题
1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4+……+1/1+2+3+……2008=________。

问题补充:
呵呵,这样看起来是费神了些,只是本人不会打分数,请各位老师见谅!谢谢。
 提问时间:2008-03-04 18:41:16    评论举报
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回答:酒是龟孙谁喝...
级别:三年级

2008-03-04 20:47:12
来自:河南省郑州市
楼上说的很好,但是题目没有第一项1/1。我来试一试:
原式可以先提取公约数2转换成有规律的数组:
2*[1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/(2008+1)(2008+2)]
这一步看懂没有?接下来:
你先看一个小例子:1/2*3=1/2-1/3 1/3*4=1/3-1/4 ...
明白了?
带入这样的思想,一个个的转换,得:
2*[1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5...+1/(2008+1)-1/(2008+2)]你看,除了第一项和最后一项,是不是都抵消了?
=2*[1/2-1/(2008+2)]
=1-1/1005
=1004/1005
懂没有?
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提问者对答案的评价:
呵呵,谢谢你的讲解,语句易解又生动,我相信以后这样的题目,我会做的更好的。
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回答:冬凌草
级别:一级教员


2008-03-04 18:51:50
来自:河南省平顶山市
1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+…1/(1+2+3+4+5+…n)

=2{1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/[n(n+1)]}

=2[1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)]

=2[1-1/(n+1)]

=2n/(n+1)

n=2008代入即可。

或者

由于原式最后一项1/1+2+3+4+5+………………n=1/[n*(n+1)/2]=2/[n*(n+1)]
又观察可发现,2/[n*(n+1)]=2*[1/n-1/(n+1)]
所以原式=2*(1-1/2)+2*(1/2-1/3)……+2*[1/n-1/(n+1)]
=2*[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)]
发现可抵消很多项(如:-1/2+1/2=0)

可得原式=2*[1-1/(n+1)]=2*n/(n+1)
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