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| 提问：1204664251 级别：幼儿园 来自：广东省汕尾市  悬赏分：0
 回答数：2 浏览数： |
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 提问时间：2010-03-05 22:32:00
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最佳答案 | 此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点 |
| 回答：战斗的歌 级别：五年级  2010-03-07 14:48:37 来自：河北省唐山市乐亭县 |
是呗，这太简单了。 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。 【定义】 （序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义） 自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。 ⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。 基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。 自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。 自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集） 在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。 基本单位：1 计数单位：个、十、百、千、万…… 总之，自然数就是指大于等于0的整数 历史与0的定性 自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。 零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。 19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。 [编辑] 符号 数学家们使用 N 或 来表示所有自然数的集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示： N+ 或 Z+ 或 而非负整数集合一般如下表示： N0 或 Z+0 或 [编辑] 定义 主条目：皮亚诺公理 为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 1是自然数； 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+或n+1。n+1也是自然数； 如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1的后继数，那么m = n； 1不是任何自然数的后继者； 如果一些自然数的集合S具有性质: (1)1在S中；(2)若n在S中，则n+1也在S中。 那么S = N。(这条公理保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理) 若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。 在基数理论中，集合论的一般作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集合，即 0 = { }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。 在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。 [编辑] 性质 自然数加法可经a + 0 = a及a + (b + 1) = (a + b) + 1递归定义而成。因而得出交换幺半群(N, + )，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。 同理，自然数乘法 可经及 得出。而亦是交换幺半群；和 + 服从分配律： 。 我们说当且仅当有自然数c使得a + c = b。是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若a，b和c都是自然数且，则及。 给出两个自然数a和b而，可找到唯一两个自然数q及r < b使得 a = bq + r q称为“商数”而r称为“余数”。 若r = 0则a可被b 除尽，记为a | b。 相关概念有可除性，辗转相除，质数及其它数论慨念。 自然数，可以是指正整数（1, 2, 3, 4...），亦可以是非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）。例如数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多数使用后者。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们（尤其是小孩）在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是很不自然的。 自然数通常有两个作用： 可以被用来计数（如“有三个苹果”），参阅基数 也可用于排序（如“这是国内第三大城市”）参阅序数 自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。 数学家一般以代表以自然数组成的集合。这是一个可数的，无上界的无穷集合。 [编辑] 推广 自然数有两种推广：序数用作排列，而基数用于判定集合的大小。 对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。 |
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