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提问:1004329101
级别:三年级
来自:江西省新余市

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已解决的问题 已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R),若在区间(1,+∞)上,函数f(x)图像恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围。
已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R),若在区间(1,+∞)上,函数f(x)图像恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围。
 提问时间:2012-12-19 21:51:41    评论举报
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回答:更上一层楼
级别:特级教员


2012-12-20 11:00:28
来自:问吧专家团
解:
事实上,很容易知道a<=1/2时才可能使得题设满足,
因为若a>1/2,当x趋向于正无穷大时。
总有f(x)=(a-1/2)x2+lnx>(a-1/2)x2
而limx→+∞(a-1/2)x2/2ax=+∞
因此题设不满足。
设g(x)=f(x)-2ax=(a-1/2)x2+lnx-2ax,x>1
g(x)的导数dy/dx=[(2a-1)x-1](x-1)/x若a=1/2。
显然易知道dy/dx《0对于所有的x>1都成立。
因此就知道函数g(x)在(1,+∞)上单调减少,
故有g(x)<g(1)=0对所有的x>1都成立,因此a=1/2符合题设。
若a<1/2.g(x)导数的根为x1=1/(2a-1)<0,x2=1
显然x1<x2因此也容易知道g(x)在(1,+∞)单调减少,
故只需满足g(1)=-a-1/2<=0
即可解得a>=-1/2
综上所述,所求a的取值范围是[-1/2,1/2]
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