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提问：icyleaves
级别：一年级
来自：浙江省

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已解决的问题 很难!!!已知四边形ABCD是圆内接四边形,证明|AB-CD|+|AD-BC|不小于2|AC-BD|
已知四边形ABCD是圆内接四边形,证明|AB-CD|+|AD-BC|不小于2|AC-BD|
 提问时间：2007-02-22 16:24:12    评论 ┆ 举报
最佳答案此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点
回答：apirl520
级别：二年级

2007-02-23 18:34:01
来自：广东省汕头市 		你可以用正弦定理来表示每一条边。然后转化为一道三角题来解。应用圆内接四边形有些角相等来写。可以用四个角来解。例如：角BDC,角DBC,角DCA,角BCA .然后分别比较|AB-CD|和|AC-BD|的大小，以及|AD-BC|和|AC-BD|的大小。
设半径为1，角AOB=2a,角BOC=2b,角COD=2c,角DOA=2d
于是：
a+b+c+d=180
不妨设：
a>=c,b>=d
则有：
|AB-CD|=2|sina-sinc|=4|sin[(a-c)/2]cos[(a+c)/2]|=4|sin[(a-c)/2]sin[(b+d)/2]|
同理：
|AD-BC|=4|sin[(b-d)/2]sin[(a+c)/2]|
|AC-BD|=4|sin[(b-d)/2]sin[(a-c)/2]|
所以：
|AD-DC|-|AC-BD|=4|sin[(a-c)/2]|{|sin[(b+d)/2]-|sin[(b-d)/2]|}
=4|sin[(a-c)/2]|*2cosb/2*sind/2>=0
故：
|AB-CD|>=|Ac-BD|
|AD-BC|>=|AC-BD|
相加：
|AB-CD|+|AD-BC|>=2|AC-BD|

参考文献：28届美国数学竞赛（答案来自百度数学吧）


该回答在2007-02-23 18:35:37由回答者修改过

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提问者对答案的评价：
本来希望有人能自己做,不过还是谢谢了!
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