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问 题 |  推荐  收藏 |
| 提问：bingyuxin01 级别：二年级 来自：河南省郑州市  悬赏分：5
 回答数：1 浏览数： |
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 提问时间：2007-02-08 09:54:06
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最佳答案 | 此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点 |
| 回答：天星社区 级别：专业试用   2007-02-09 11:09:58 来自：河南省郑州市 |
已知f(x)=ax^2+bx+c对于任意的|x|≤1有|f(x)|≤1,求证 g(x)=|(ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)|在[-1,1]上有g(x)≤2 解： g(x)=|(ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)|=|f(x)|*|h(x)|,而f(x)≤1，要证明g(x)≤2，只要证明 h(x)≤2，而证明h(x)≤2曾经是一道高考题。 [由于符号混淆，为了方便其间，我单独证明h(x)≤2不换符号] 解法I a+b+c=g(1) a-b+c=g(-1) c=g(0) a=(g(1)+g(-1))/2 -g(0) b=(g(1)-g(-1))/2 c=g(0) |cx^2-bx+a| =|g(1)/2*(1-x)+g(-1)/2*(1+x)+g(0)*(x^2-1)| ≤|g(1)/2|*|1-x|+|g(-1)/2|*|1+x|+|g(0)|*|x^2-1| ≤0.5*|1|*（|1-x|+|1+x|）+ |1|*|x^2-1| 当x∈[-1，1]， |x^2-1|≤1 |1+x|+|1-x|=2 原式≤2*0.5+1=2 [这种方法的特点是万能，这一类题都可以用这个方法解] 解法II 令f(x)=ax·x+bx+c 因为|ax·x+bx+c|≤1 所以 |f(0)|=|c|≤1 |cx·x-bx+a|=|(cx^2-c)+c+bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a| 当x∈[-1，1]， |x^2-1|≤1 |c|≤1 |c|*|x^2-1|≤1 然后讨论g(x)=c+bx+a 因为g(x)在x∈[-1，1]上单调 g(x)≤max{c-b+a,c+b+a} |g(x)|≤max{|c-b+a|,|c+b+a|} 因为|ax·x+bx+c|≤1 所以 |f(1)|=|c+b+a|≤1 因为|f(-1)|=|c-b+a|≤1 所以|g(x)|≤1 |cx·x-bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a|≤1+1=2 [这种方法也不失为一种好方法，沟通了已知和未知的关系，但不易想到，我个人认为解法I较为普遍全能] 我再复制一道类似的题你看看 设f（x）=x·x+bx+c，若|f（x）|在[-1，1]上最大值为M，求证： M≥0.5 解：由题意得 M≥|f(1)|=|1+b+c| M≥|f(-1)|=|1-b+c| M≥|f(0)|=|c|=|-c| 所以 4M≥|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|=|1+b+c|+|1-b+c|+|-2c| ≥|1+b+c+1-b+c-2c|=2 M≥1/2 当c=0 b=1/2时等号取到 |
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提问者对答案的评价：
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| 谢谢老师.回答的非常详细;以后我有问题可以经常向你请教吗? |
| 总回答数1，每页15条，当前第1页，共1页 |
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