提问：suxianchang
级别：幼儿园
来自：湖北省荆州市监利县
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湖北省100所重点中学2011届高三联合考试理科数学试题21解析
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21 在单调递增数列{an}中，a1 = 1，a2 = 2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，
a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n = 1, 2, 3, …。
(1) 分别计算 ， 和 ， 的值；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 设数列 的前n项和为Sn。证明： ，n∈N*。
对于本题的解答，本人认为可以避开一些烦琐的运算，特给出如下几种最佳的解法。
解：(1)由已知得a3 = 2a2-a1= 2×2-1= 3，a4 = ，a5 = 2a4-a3 = 6， 。
由此可得 ， 和 ， 。
（2） 解法1 由 (1)知 数列{an}的奇数项为1, 3, 6, 10, 15, …，
由此可得，数列{an}的一阶差数列是一等差数列，即a2n-1-a2n-3 = n，
从而可得 a2n＋1 = (a2n＋1-a2n-1) + (a2n-1-a2n-3) + (a2n-3-a2n-5) + … + (a3-a1) + a1
= (n +1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 。
于是，有 。
（2）解法2 ∵ a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，∴ 2a2n = a2n＋1+a2n-1，n = 1, 2, 3，…。
∵ a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，∴ , ，n = 1, 2, 3，…。
由此可得 ，从而可得 ，
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列。
∴ ，即 ，
由此可得 ，n = 1, 2, 3，…。
（3）解法1 ∵
令2 k = n，则有 ，
。
又因为 ，
令2 k +1= n，则有
。
当k>3时，此式成立。又 。从而命题得证。
对于(2)/(3)的另解如下：
（2）解法3 ∵ a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，∴ a2n＋1＝2a2n-a2n-1，n = 1, 2, 3，…。
∵ a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，∴ , n = 1, 2, 3，…。
又∵ , ， ，…， ， ， ，
故可以猜想 ， ，n∈N*。
以下用数学归纳法证明之：
①当n =1时， ， ，故猜想成立．
②假设n = k ( k ≥ 1 ) 时，猜想成立，即 ， ，那么
。
。
∴ n = k＋1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，猜想成立.8分
∴ 。
由此可得
解法4 ∵ a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，∴ ，n = 1, 2, 3，…。
∵ a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，∴ 2a2n = a2n＋1+a2n-1，故有 ，
由此可得 ，
故数列 是等差数列，且首项为 ，公差为1。
∴ ，从而 ，
故有 ， 。
解法5 由题意知 ， ，
故可得 ，
同理 ，由此可得 。
又由 a2n，a2n+1，a2n+2成等比得
a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列， 2a2n = a2n＋1+a2n-1，故有 ，
从而可得 ，由解法3知， ，
故有 ，累乘得 ，
又 ，
从而累加得 。
(3) 显然 。
当n为偶数时，由(2)得
。
当n为奇数时，（n≥3）
,
综上所述， ，n∈N*。
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提问时间：2010-10-23 16:12:00
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