已知抛物线C:y2=4x 的准线与x轴交与M点，F为抛物线的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线交与A B两点。

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提问：pianzhouzhiz...
级别：幼儿园
来自：湖北省武汉市

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已知抛物线C:y2=4x 的准线与x轴交与M点，F为抛物线的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线交与A B两点。

是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在Q（x，y）满足QA垂直于QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由！

提问时间：2011-04-17 21:25:15 评论 ┆ 举报

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回答：更上一层楼级别：高级教员 2011-04-18 13:14:19 来自：天星教育网	提示：存在. 直线l:y=k(x+1) (k≠0) 联立y=k(x+1) ,y^2=4x.消去x得.y^2-4y/k+4=0 Δ=16/k^2-16>0.解得k^2<1且k≠0 由韦达定理:y1+y2=4/k. y1y2=4 设A(y1^2/4,y1) B(y2^2/4,y2) Q(y^2/4,y) 向量QA=[(y1^2-y^2)/4,y1-y).向量QB=[(y2^2-y^2)/4,y2-y] 因为QA⊥QB. 所以(y1^2-y^2)(y2^2-y^2)/16+(y1-y)(y2-y)=0 <=>(y1-y)(y2-y)[1+(y1+y)(y2+y)/16]=0 因为y≠y1,y≠y2 所以1+(y1+y)(y2+y)/16=0 整理得:y^2+4y/k+20=0 Δ=16/k^2-80≥0.解得k^2≤1/5 故k的取值范围是[-√5/5,0)∪(0,√5/5]
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